Cómo calcular el área de un círculo: fórmula y explicación matemática

¿Cuánta superficie de pizza toca a cada uno? Así se calcula el área de un círculo

cómo calcular el área de un círculo

¿Para qué es necesario saber cómo calcular el área de un círculo? La pregunta no pillará por sorpresa la mayoría de los profesores de matemáticas. Siempre hay algún alumno que la hace en voz alta.

La fórmula para descifrar el área de un círculo trajo de cabeza a muchos grandes pensadores de la antigüedad. Algunos, como Arquímedes, lograron hacer el cálculo y definir el valor de una de las constantes matemáticas más famosas: el número π (pi). Sin embargo, no fue hasta los siglos XVII y XVIII, con los avances en cálculo, que se llegó a la fórmula actual. El área de un círculo es igual a πr2.

Volvamos un momento a la pregunta que tantos se han hecho. ¿Para qué es necesario conocer cómo calcular el área de un círculo? Podemos empezar por ejemplos sencillos: podemos usar la fórmula para saber cuánta tela hace falta para cubrir un objeto circular o para calcular cuánta masa (de pizza o bizcocho) es necesaria para rellenar un determinado molde. Conociendo la fórmula, podemos también conocer el perímetro de un neumático y saber la distancia que recorre una bici cada vez que gira la rueda.

Y es básico para muchos otros cálculos de matemáticas y, como consecuencia, de casi cualquier otra ciencia. Ahora que ya sabemos por qué es tan importante, vamos con los detalles.

Índice

  1. Qué es un círculo y qué elementos lo determinan
  2. Cómo calcular el área de un círculo
  3. Cómo calcular la longitud de la circunferencia o perímetro

Qué es un círculo y qué elementos lo determinan

pi y el área del círculo

Un círculo es una figura geométrica plana en dos dimensiones. Se trata de la superficie que está contenida por una circunferencia. ¿Y qué es una circunferencia? Pues una curva cerrada, una elipsis cuyos puntos son equidistantes de otro punto al que llamamos centro. Así, de forma sencilla, con circunferencia hablamos de la línea que delimita el círculo y con círculo nos referimos a la superficie que está contenida en su interior. Aunque a veces ambos términos se usen como sinónimos, círculo y circunferencia no son lo mismo.

Antes de pasar a saber cómo calcular el área del círculo y la longitud de una circunferencia, debemos conocer otros elementos importantes en esta figura geométrica:

  • Centro. Es un punto que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos que forman la circunferencia.
  • Radio. Es cualquier segmento que une el centro con la circunferencia. Este elemento será clave a la hora de calcular el área del círculo.
  • Diámetro. Es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro del círculo. Mide siempre el doble que el radio.
  • Perímetro. Es la longitud del contorno del círculo, es decir, la longitud de la circunferencia.

Además, existen otros elementos de importancia como cuerda (cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia, sin pasar necesariamente por el centro) o arco (una porción de la circunferencia entre dos puntos determinados). No son relevantes para el cálculo que nos ocupa.

Cómo calcular el área de un círculo

Antes de entrar definitivamente en materia, toca también hablar de una de las constantes más importantes de las matemáticas: el número π. No es estrictamente un elemento del círculo, pero es fundamental para calcular su área, así como la longitud de su perímetro. Se trata de una constante que aparece de forma recurrente a lo largo de la historia del cálculo y que es clave para definir la relación entre una circunferencia, el diámetro y, como consecuencia, el área de un círculo.

Sin perdernos en los detalles, π es un número irracional. Es decir, es un número que no puede escribirse en forma de fracción y, si lo expresamos como un decimal, no es ni exacto, ni periódico. Su valor se resume, normalmente, en 3,14. Pero, en realidad, sus decimales se extienden a la derecha de la coma hasta el infinito y sin seguir ningún patrón concreto.

Ahora que ya conocemos todos los elementos que nos van a hacer falta, podemos calcular el área de un círculo. Esta se define por una simple fórmula: el área es igual al número π multiplicado por el radio elevado al cuadrado. Es decir:

A = π · r²

Ejemplo de cálculo del área de un círculo

Vamos con un ejemplo sencillo. Pongamos que tenemos un círculo con un diámetro de 2 metros. O, lo que es lo mismo, el radio mediría 1 metro. Elevamos el radio al cuadrado y su resultado sería 1. Lo multiplicamos por el número π y obtendríamos el resultado final. El área de nuestro círculo imaginario mediría 3,14 (y muchos decimales) metros cuadrados.

A = π · r²

A = π · 1²

A = π · 1

A = 3,14 m²

Cómo calcular la longitud de la circunferencia o perímetro

La relación entre el diámetro del círculo y la circunferencia nos sirve también para calcular la longitud de esta última (también llamada perímetro). Así, la longitud de una circunferencia es igual al diámetro multiplicado por el número π o a dos veces el radio por π. Matemáticamente, esta fórmula se expresa como:

L = 2 · π · r

Ejemplo de cálculo del perímetro o longitud de la circunferencia

Volviendo al ejemplo anterior, en que sabemos que el radio mide 1 metro, podemos calcular que la longitud de la circunferencia medirá dos veces pi. Es decir, aproximadamente, 6,28 metros.

L = 2 · π · r

L = 2 · π · 1

L = 2 · 3,14

L = 6,28 m

La fórmula para calcular el área de un círculo o para conocer su circunferencia parten del siempre del número π, una antigua constante que aparece de forma recurrente en el mundo de las matemáticas. Gracias a ella pueden hoy calcularse la superficie del círculo central de un campo de fútbol, el volumen de una torre cilíndrica y la longitud de las circunferencias que los alienígenas ‘dibujan’ en los campos de maíz estadounidenses.

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Imágenes | Unsplash/Chaitanya Tvs, Wikimedia Commons/Fernando de Gorocica

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