Las fracciones son una forma muy útil de representar cantidades. Pero entrañan cierta dificultad, y muchos preguntan cómo resolver fracciones de una forma sencilla, entendiendo lo que hacemos y, en la medida de lo posible, sin usar calculadora o utilizándola lo menos posible. Sí, es posible operar con fracciones dejándola de lado.
Índice
- Qué son las fracciones
- Cómo factorizar
- Suma de fracciones
- Resta de fracciones
- Multiplicación de fracciones
- División de fracciones
¿Qué son las fracciones?
Una fracción es la representación quebrada de un número. O, dicho de otra forma, es un número escrito en forma de división. Así, las siguientes cantidades son fracciones: 3/2, 7/8, 10/2, ?/3 e incluso x/2. Aunque no sepamos cuánto vale la ‘x’ del último ejemplo, y debamos resolver una ecuación, “x/2” también es una fracción.
Las fracciones se usan en todo tipo de ámbitos: desde para saber cuántas porciones de pizza has comido hasta para ilustrar sesudos estudios científicos. Y es que son muy útiles como herramienta matemática, aunque a alguno nos cueste operar con ellas. He aquí un ejemplo usando una tarta.
“Laura se comió 3/8 de tarta, mientras que Julio se comió 2/8”
La parte superior de la fracción se llama numerador y la inferior, denominador. Lejos de usarse solo en conjuntos inferiores a la unidad (3/8 son 0,375, que es un número menor a 1), también pueden ser empleadas para representar otros números más grandes:
“Óscar fue el que más tarta comió: ¡diez porciones! Comió 10/8 de tarta, o 1,25 tartas”
Veamos cómo se suman, restan, multiplican y dividen las fracciones. Pero antes expliquemos cómo reducir fracciones.
Cómo factorizar
Los ejemplos con la tarta son fáciles porque la fracción da como resultado un número exacto fácil de entender, aunque sea un número decimal. Pero ¿qué ocurre con fracciones como 7/9 o la intimidatoria 64680/83160? Antes de ver cómo resolver fracciones, veamos cómo alcanzar una fracción irreducible.
Si usamos la calculadora vemos que el resultado de la primera es 0,7 período, es decir, un cero e infinitos sietes (0,77777777……). Evidentemente, es más fácil operar con 7/9 que escribir infinitos sietes o 0,7 periodo. Ahora veamos la segunda fracción: 64680/83160.
Curiosamente, su resultado también nos da 0,7 periodo con la calculadora, lo que significa que 64680/83160 y 7/9 son fracciones equivalentes. Es decir, son el mismo número escrito de dos formas diferentes. ¿Cómo podemos resolver fracciones y pasar de una tan compleja como 64680/83160 a una más simple como es 7/9? Reduciendo o simplificando la fracción, siguiendo estos pasos:
1. Calcular los factores de cada número
Esto es, calcular los números primos que, multiplicados, dan lugar a numerador y denominador. ¿Cómo se hace esto? Colocando el número a la izquierda de una línea vertical y preguntándose si es divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. Veamos el ejemplo con el numerador 64680, un número que impresiona por ser grande pero que, en el fondo, es fácil de factorizar (como todos):
Vamos a seguir exactamente el mismo procedimiento para el denominador, que era aún más grande: 83160. Esta vez sin la ayuda, quedaría:
2. Reescribir la fracción en base a sus factores
Ahora que sabemos qué factores tiene el numerador y cuáles el denominador, vamos a escribir la fracción factorizada. Es la misma fracción, pero escrita de otra forma:
3. Tachamos los factores que se repiten
Si en el numerador hay un 2 y también hay un 2 en el denominador, podemos dividir ambos términos entre 2, eliminando esa cifra. O, de forma más simplificada, podemos tachar los factores que se repiten arriba y abajo. ¿Por qué? Porque 2/2 es 1, al igual que 3/3, 5/5, 7/7, 11/11, etc.
Como vemos en el ejemplo, el resultado de simplificar la fracción 64680/83160 nos ha llevado a la fracción reducida 7/9. No se puede reducir más, hemos llegado al límite. Y esta fracción reducida va a ser muy útil para operar, como veremos a continuación.
Cómo resolver la suma de fracciones
Para sumar dos fracciones es imprescindible que estas tengan la misma base o denominador para sumar sus numeradores. Así, si queremos sumar 15/6 + 3/8 + 5/4, necesitamos encontrar su denominador común y, si es posible, el denominador común más pequeño. Por eso es tan importante la factorización vista arriba.
Veamos lo que ocurre cuando no aplicamos la factorización a todas estas fracciones. Como necesitamos que el denominador común sea el mismo, la forma más rápida (pero no la más inteligente) es multiplicar los denominadores y numeradores por los denominadores de las otras fracciones (en azul):
Evidentemente, esto es una pérdida de tiempo. Después de operar llegamos a una fracción que todavía tendríamos que factorizar y simplificar. Veamos un método alternativo y mucho más inteligente: saquemos los factores de los denominadores y numeradores antes de operar.
Como podemos observar, esta forma de resolver fracciones es mucho más racional. Además de poder hacerlo sin calculadora, es notablemente más rápido. En este caso hemos tachado el factor común 3 antes de operar. El resultado es una fracción irreducible.
Cómo resolver la resta de fracciones
A la hora de restar, el procedimiento es exactamente el mismo. De hecho, resolveremos la operación “15/6 menos 3/8 más 5/4” para mostrar las similitudes. En este caso donde debemos tener cuidado es en el signo, resaltado en rojo:
Cómo resolver la multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones suele ser más fácil que la suma o resta. Pero sus reglas son ligeramente diferentes. Cuando multiplicamos una fracción por otra, tenemos que multiplicar por un lado sus numeradores y por otro sus denominadores. Veamos un ejemplo con 15/6 por 3/8, factorizando previamente:
Como podemos observar, factorizar nos permite tachar los factores repetidos en numerador y denominador, facilitando muchísimo el cálculo y el resultado. La alternativa sería la de multiplicar 15 por 4 y 6 por 25, y luego ir reduciendo, un camino mucho más laborioso.
Cómo resolver la división de fracciones
Para dividir fracciones realizamos una ‘multiplicación cruzada’: multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador, colocando su resultado en el numerador de la fracción resultante; y multiplicamos el primer denominador por el segundo numerador, colocando su resultado en el denominador de la fracción resultante. Aunque con colores y flechas se entiende mejor:
Como ya hemos factorizado antes de operar, el resultado es una fracción irreducible. Es la fracción más sencilla posible. Y, recordemos, no hemos usado la calculadora.
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